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15.09.2019 18:31:17
 

Kepler und die Himmelsmechanik

Bereits seit der Antike durch Ptolemäus bis hin zu Nikolaus Kopernikus werden die Planetenbahn kreisförmig betrachtet. Dadurch können einige Beobachtungen nur mit Hilfe von sehr aufwändigen Hilfsmaßnahmen bestimmt werden. 

Johannes Kepler postuliert auf Grund seiner Beobachtungen, dass die Planetenbahnen elliptische Bahnen sein müssen und formuliert dazu drei Gesetzmäßigkeiten:

1. Kepler Gesetz - Ellipsensatz

Die Planeten bewegen sich auf elliptischen Bahnen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht. Auf Grund der elliptischen Bahn ändert sich der Abstand des Planeten zur Sonne fortwährend: der sonnenfernste Punkt wird Apfel und der sonnennächste Punkt Perihel genannt.

2. Kepler Gesetz - Flächensatz

Ein von der Sonne zum Planeten gezogener Fahrstrahl überstreicht in gleichen Zeiten gleich große Flächen.

3. Kepler Gesetz - Verhältnissatz

Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich wie die Kuben der großen Bahnhalbachsen.

 

 

 

Das Gravitationsfeld

Zwei Massen $m_1$ und $m_2$ ziehen sich gegenseitig an, es gilt dabei das dritte Axiom von Newton: $$F_1 = - F_2$$ 

 

 

Um zwei Massen $m_1$ und $m_2$ von dem Abstand $r_a$ auf den Abstand $r_b$ zu bringen muss die Arbeit $$W = G m_1 m_2 \left( \frac{1}{r_a} - \frac{1}{r_b} \right)$$ 

potentielle Gravitationsenergie

Die potentielle Gravitationsenergie strebt im Unendlichen $r_a \mapsto \infty$ gegen Null, da $W_a = G m_1 m_2 \frac{1}{r_a}$ ist und $\frac{1}{r_a} \mapsto 0$ strebt. Daraus ergibt sich eine negative potentielle Gravitationsenergie in einem Abstand $r_b = r$ mit durch die aufzubringende potentielle Arbeit $$W_{\mathrm{pot}} = - G m_1 m_2 \frac{1}{r}$$ 

Das negative Vorzeichen lässt sich zum einen durch obige Herleitung, aber auch mit Hilfe der Kräftebetrachtung erklären. Zwei Massen $m_1$ und $m_2$ ziehen sich gegenseitig an. Die Kraftwirkung ist somit negativ und es muss gelten $$F_G = - G \frac{m_1 m_2}{r^2}$$ (vergleiche dazu auch die Überlegungen zu der Coulomb-Kraft aus dem letzten Semester.)

Unter der Beachtung $W=\int{F \mathrm{d}r}$ ergibt sich $$W_{\mathrm{pot}} = \int{F \mathrm{d} r } = \int{ - G \frac{m_1 m_2}{r^2} \mathrm{d} r } = - G m_1 m_2 \int{ \frac{1}{r^2} \mathrm{d} r } = - G m_1 m_2 \frac{1}{r}$$ 

Die Geschwindigkeit, die aufgebracht werden muss um der Gravitationswirkung (Kraft) zu entkommen, wird Fluchtgeschwindigkeit genannt. Dabei muss die Summe aus kinetischer Energie des fliehenden Körpers $m_1$ und der Gravitationsenergie gleich Null sein, es gilt also gelten: $0 = W_{\mathrm{kin}} - W_{\mathrm{pot}}$, daraus folgt:

$$ W_{\mathrm{kin}} = W_{\mathrm{pot}} $$

$$ \frac{1}{2} m_1 v^2 = G m_1 m_2 \frac{1}{r}$$

$$ v^2 = 2 G m_2 \frac{1}{r}$$

$$ v = \sqrt{2 G m_2 \frac{1}{r}}$$

Anmerkung: Häufig wird die Masse des zentralen Körpers $M$ und des Trabanten oder hier fliehenden Körpers mit $m$ gekennzeichnet, somit folgt: $v = \sqrt{2 G M \frac{1}{r}}$

Gesamtenergie eines mechanischen Systems aus Zentralkörper und Trabant

Die Gesamtenergie ist stets die Summe aller vorhandener Energieformen. Betrachtet man nur die mechanischen Energieformen, so ist die Gesamtenergie die Summe aus potentieller und kinetischer Energie eines Körpers:

$$W_{\mathrm{ges}} = W_{\mathrm{pot}} + W_{\mathrm{kin}}$$

Dies bedeutet für das System aus Zentralkörper ($M$) und Trabant ($m$), dass die Gesamtenergie des sich bewegenden Trabanten 

$$W_{\mathrm{ges}} = - G \frac{M m}{r} + \frac{1}{2} m v^2$$

ist. Unter der Beachtung, dass es sich bei der Bewegung um eine Kreisbahn handelt, lässt sich die Bahngeschwindigkeit aus den auftretenden Kräften bestimmen. Die Summe aus Zentripetalkraft und Gravitationskraft muss Null ergeben, da nur dann der Trabant auf der Kreisbahn bleibt, es gilt also

$$F_Z = F_G$$

$$m \frac{v^2}{r} = G \frac{M m}{r^2}$$

$$v^2 =G \frac{M}{r}$$

und durch Einsetzen erhält man

$$W_{\mathrm{ges}} = - G \frac{M m}{r} + \frac{1}{2} m G \frac{M}{r}$$

$$W_{\mathrm{ges}} = - \frac{1}{2} G \frac{M m}{r}$$

 
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